일변수 미적분학에서 정적분 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$은 곡선 아래의 넓이를 나타냅니다. 이제 세 번째 차원으로 넘어가면서 이 논리를 확장하여 부피 표면 $z = f(x, y)$ 아래의 부피를 찾습니다.
1. 공식적 정의
함수 $f$에 대해 닫힌 사각형 $R = [a, b] \times [c, d]$ 위에서 이중 적분을 다음과 같이 정의합니다: 두 번째 리만 합의 극한으로서
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
여기서 $\Delta A = \Delta x \Delta y$는 하위 사각형 $R_{ij}$의 넓이이며, $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$는 $R_{ij}$ 내 임의의 샘플 점입니다.
1. 기하학적 분할: $R$를 $m \times n$ 개의 하위 사각형 $R_{ij}$로 나누며, 여기서 $x_i = a + i\Delta x$이고 $y_j = c + j\Delta y$입니다.
2. 물체 근사: $R_{ij}$ 각각에 대해 높이 $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$의 기둥을 만듭니다. 물체 $S$의 부피 $V$는 $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$로 근사됩니다.
3. 극한: 격자가 무한히 작아질 때($m, n \to \infty$), 근사는 정확한 부피로 수렴합니다.
2. 평균값 정리
1차원 곡선의 평균 높이는 $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$와 같듯이, 영역 $R$ 위에서 표면 $z=f(x,y)$의 평균값은 다음과 같습니다:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
이 $f_{ave}$는 표면 아래의 복잡한 물체와 같은 부피를 포함할 수 있는 밑면이 $R$인 단일 직육면체의 높이를 나타냅니다.